Triad sou.

ガンマ分布のハザード関数が収束する話

統計

ガンマ分布のハザード関数

先日調べ物をしていたときに、ガンマ分布のハザード関数が$t \to \infty$で定数$\lambda$ (rate parameter) に収束するという話を知りました。


一応簡単に導出をしているものがないか探してみたのですが、見つからなかったので確認してみることにしました。

計算してみよう

ガンマ分布のハザード関数は、
\[
h(t)=
\frac{f(t)}{1-F(t)}=
\frac{\frac{1}{\Gamma (k)} \lambda^{k} t^{{k}-1} \exp(-\lambda t) }{1 - \frac{ \gamma \left(k, \lambda t \right)}{\Gamma (k)}}=
\frac{\lambda^{k} t^{{k}-1} \exp(-\lambda t)}{\Gamma \left(k, \lambda t \right)},
\] です。
ただし、$f(t)$はガンマ分布の確率密度関数、$F(t)$はガンマ分布の累積分布関数、$\Gamma (k)=\int_0^{\infty} x^{{k}-1}\exp(-x) \mathrm{d}x$、$\Gamma (k, z)=\int_z^{\infty} x^{{k}-1}\exp(-x) \mathrm{d}x$、$\gamma (k,z)=\int_0^{z} x^{{k}-1}\exp(-x) \mathrm{d}x$ です。
あとは、これについて$t \to \infty$を考えれば良いだけです。
ここで、
\[
\lim_{t \to \infty} h(t) =
\lim_{t \to \infty} \frac{\lambda^{k} t^{{k}-1} \exp(-\lambda t)}{ \int_{\lambda t}^{\infty} x^{{k}-1}\exp(-x) \mathrm{d}x } =
\frac{0}{0},
\] となるので、ロピタルの定理を用いると（一応、$y=1/t$に置換して、前提条件が満たされることは確認しました）、
\[
\begin{aligned}
\lim_{t \to \infty} \frac{\lambda^{k} t^{{k}-1} \exp(-\lambda t)}{ \int_{\lambda t}^{\infty} x^{{k}-1}\exp(-x) \mathrm{d}x }
&=
\lim_{t \to \infty} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \lambda^{k} t^{{k}-1} \exp(-\lambda t) \right\}}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left\{\int_{\lambda t}^{\infty} x^{{k}-1}\exp(-x) \mathrm{d}x \right\}}
\\ &=
\lim_{t \to \infty} \frac{\lambda^k ({k}-1)t^{{k}-2} \exp(-\lambda t) - \lambda^{{k}+1} t^{{k}-1} \exp(-\lambda t) }{0 - \lambda \{ (\lambda t)^{{k}-1} \exp(-\lambda t) \}}
\\ &=
\lim_{t \to \infty} \lambda + \frac{1-k}{t}
\\ &=
\lambda,
\end{aligned}
\] が得られます（定積分の微分は普段使わないので良い復習になりました）。

プロットを確認

Rでは、expintパッケージのgammainc関数を用いれば、不完全ガンマ関数の計算ができるようです。
$k$が大きいと収束が遅くなるので、小さい値を設定してグラフを書いてみます。

k <- 1.05
lambda <- 2
t <- seq(0.01, 20, by = 0.01)
y <- lambda^k*t^(k - 1)*exp(-lambda*t)/expint::gammainc(k, lambda*t)
plot(t, y)
abline(h = lambda)

こんな感じになりました。

補足

江村先生から同様の証明が書いてある論文があると教えていただきました（江村先生、ありがとうございました！）。

  • 武冨奈菜美, 山本和嬉. 生存時間解析・信頼性解析のための統計モデル. 日本統計学会誌 2023; 52(2): 69–112. DOI: 10.11329/jjssj.52.69.