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正規線型モデルの条件付き推測

統計

正規線型モデルとは書いたのですが、結局の所 $\mu$ なのか $X\beta$ なのかの違いだけなので、確率モデル
\[
Y_{i} \overset{\mathrm{i.i.d.}}{\sim} \mathrm{N}(\mu, \s^2); i=1, \ldots, n,
\] を考えます。

この確率モデルのもとで、$\mathbf{Y}$ の同時密度関数は
\[
f(\mathbf{Y}=\mathbf{y} \mid \mu, \s^2)=
\left(\prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\s} \right)\exp\left\{-\frac{n}{2\s^2}(\bar{y}-\mu)^2 \right\} \exp\left\{-\frac{(n-1)}{2\s^2}s^2 \right\}
\] \[
\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i, S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})^2
\] と変形できます。

この式から、$(\mu, \s^2)$ が未知の場合、$(\bar{Y}, S^2)$ は $(\mu, \s^2)$ の結合十分統計量であることが分かります。
この二つは分離できず、この状態では $\mu$ に関して条件付き推測を行おうとしても、$\s^2$ は消えないので意味がありません。
仮に条件付き尤度を作ったとしても、$(\bar{Y}, S^2)$ は独立なので、
\[
f(\bar{Y}=\bar{y}, S^2=s^2 \mid \mu, \s^2)=
f(\bar{Y}=\bar{y} \mid \mu, \s^2) f(S^2=s^2 \mid \s^2)
\] となって、普通の最尤推定量と変わらない推定量が得られます。

ただ、この話については、はっきり書いてある文献がなかった。
当たり前すぎるからなのか、なんだかもやもやが残ります。