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t 分布の分布関数の導出

自由度 $\gamma$ の $t$ 分布の確率密度関数は、
\[
f(T=t\mid \gamma)=
\frac{1}{\sqrt{\gamma}B\left(\frac{1}{2}, \frac{\gamma}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{\gamma}\right)^{-\frac{1+\gamma}{2}}
\] である。
ただし、$B(a, b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$ はベータ関数である。

この確率密度関数から分布関数を求めてみよう。
$F(T\leq t\mid \gamma)$ を $t$ 分布の分布関数とする。
$t$ 分布は $0$ を中心に左右対称な分布であり、$t>0$ の場合、
\[
F(T\leq t\mid \gamma)=\frac{1}{2}+\int_{0}^{t} f(T=x\mid \gamma) \mathrm{d} x
\] であり、$t<0$ の場合、
\[
F(T\leq t\mid \gamma)=\frac{1}{2}-\int_{t}^{0} f(T=x\mid \gamma) \mathrm{d} x
\] となる。
ここでは、$t>0$ の場合を考えて、$\int_{0}^{t} f(T=x\mid \gamma) \mathrm{d} x$ を求める事とする。

積分
\[
\int_{0}^{t} f(T=x\mid \gamma) \mathrm{d} x=
\frac{1}{\sqrt{\gamma}B\left(\frac{1}{2}, \frac{\gamma}{2}\right)}\int_{0}^{t}\left(1+\frac{x^2}{\gamma}\right)^{-\frac{1+\gamma}{2}}\mathrm{d} x
\] において、$(1+x^2/\gamma)^{-1}=v$ と置くと、$\mathrm{d} x=-\frac{\gamma(1+x^2/\gamma)^2}{2x} \mathrm{d} v$、および積分範囲は $\left[1, \frac{1}{1+t^2/\gamma} \right]$ となり、
\[
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{t} f(T=x\mid \gamma) \mathrm{d} x&=&
\frac{1}{2 B\left(\frac{1}{2}, \frac{\gamma}{2}\right)}\int_{1}^{\frac{1}{1+t^2/\gamma}}-v^{\frac{\gamma}{2}-1}(1-v)^{\frac{1}{2}-1} \mathrm{d} v\\&=&
\frac{1}{2 B\left(\frac{1}{2}, \frac{\gamma}{2}\right)}\int_{0}^{\frac{t^2/\gamma}{1+t^2/\gamma}}u^{\frac{1}{2}-1}(1-u)^{\frac{\gamma}{2}-1} \mathrm{d} u\\&=&
\frac{B\left(\frac{t^2/\gamma}{1+t^2/\gamma}; \frac{1}{2}, \frac{\gamma}{2}\right)}{2 B\left(\frac{1}{2}, \frac{\gamma}{2}\right)}\end{eqnarray}
\] である。
一行目から二行目については、$1-v=u$ で置換積分した。
ただし、$B(x; a, b)$ は不完全ベータ関数である。
また、この積分は、ベータ分布の分布関数を $2$ で割ったものになっている事もすぐ分かる。

数値例

実に面白い。

df <- 18
t <- 0.5
x <- t^2/df / (1 + t^2/df)

pt(t, df)
1/2 + pbeta(x, 1/2, df/2)/2

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