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不完全ベータ関数の近似 (2)

統計


\[
p(\theta \mid y)=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\begin{pmatrix}n \\ y\end{pmatrix}\theta^y(1-\theta)^{n-y}d\theta
\] Laplace が使った近似を調べてるんだけど、$\theta^y(1-\theta)^{n-y}$ を $y/n$ の周りで展開して・・・、なんて言う話と、正規分布を使って近似していると書いてあって気になる。
[1] の p.315 辺りからがそうらしい。

とりあえず読んだ。
近似式自体は p.304 の (a') に基づいて求めている、分母がこの前やったラプラス近似と同じで $y/n$ の周りで展開して正規分布を使った近似。
分子は関数を最大化する値の周りで展開している訳ではないようで、尤度を $p(y\mid \theta)=\begin{pmatrix}n \\ y\end{pmatrix}\theta^y(1-\theta)^{n-y}$ として
\[
U=\left(-\frac{d\log p(y\mid \theta)}{d\theta}\right)^{-1}
\] を $0$ の周りで展開したものと、$U$ と尤度の積の関数
\[
g(\theta)=U \times p(y\mid \theta) \times \left(1+\frac{dU}{d\theta}+\ldots\right)
\] から、差分
\[
g(\theta_2)-g(\theta_1)
\] を計算して積分を近似している・・・
$\theta_1=1/2, \theta_2=1$ の時の近似式が p.317 (e')。

精度は悪いみたいだし、謎は残るけど一段落したから次に進もう。