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不完全ベータ関数の近似

統計

Bayesian inference 勉強中。
prior distribution を一様分布で尤度が二項分布の時の posterior distribution は
\[
p(\theta \mid y)=\frac{\displaystyle \int_{\theta_1}^{\theta_2} \begin{pmatrix}n \\ y\end{pmatrix} \theta^y(1-\theta)^{n-y} \mathrm{d}\theta}{\displaystyle \int_{0}^{1} \begin{pmatrix}n \\ y\end{pmatrix} \theta^y(1-\theta)^{n-y} \mathrm{d}\theta}
\] 尤度は二項分布のため、$n, y \in \mathbb{Z}, n+1>0, y+1>0, n>y, 0\leq p\leq 1$ だから、分母は
\[
\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \begin{pmatrix}n \\ y\end{pmatrix} \theta^y(1-\theta)^{n-y} \mathrm{d}\theta &=&
\begin{pmatrix}n \\ y\end{pmatrix}\left\{\left[\frac{\theta^{y+1}}{y+1} (1-\theta)^{n-y}\right]_{0}^{1}+\frac{(n-y)}{(y+1)}\int_{0}^{1} \theta^{y+1} (1-\theta)^{n-y-1} \mathrm{d}\theta \right\}\\&=&
0+\begin{pmatrix}n \\ y\end{pmatrix}\frac{(n-y)}{(y+1)}\int_{0}^{1} \theta^{y+1} (1-\theta)^{n-y-1} \mathrm{d}\theta\\&=&
\cdots\\&=&
\begin{pmatrix}n \\ y\end{pmatrix}\frac{(n-y)!}{n^{\underline{n-y}}}\int_{0}^{1} \theta^n \mathrm{d}\theta\\&=&
\begin{pmatrix}n \\ y\end{pmatrix}\frac{(n-y)!}{n^{\underline{n-y}}} \frac{1}{n+1}\\&=&
\frac{n(n-1)\cdots(y+1)(y)\cdots 1}{y!(n-y)!}\frac{(n-y)!}{n(n-1)\cdots(y+1)}\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray}
\] ベータ関数の計算、何か習ったような習ってないような記憶が・・・

分子の部分が不完全ベータ関数になっている。
今は計算できる環境が整っているが、一応本の流れに沿って理解したいので調べてる。
Laplace が使った近似を調べてるんだけど、$\theta^y(1-\theta)^{n-y}$ を $y/n$ の周りで展開して・・・、なんて言う話と、正規分布を使って近似していると書いてあって気になる。
Laplace 近似の積分区間を変えたものなんだろうか?

[1]の p.315 辺りからがそうらしい。
p.318の例題の計算値がかなり違う$\log$ の底が $10$ だった・・・、そしてフランス語が読めない。